버틀러-볼머 + SEI 성장식으로 배터리 수명 예측

1. 핵심 아이디어

배터리는 사용하면서 전극 표면에 SEI(고체전해질막)가 점점 두꺼워진다. SEI가 두꺼워질수록 리튬이 잘 못 움직여 용량이 줄어든다.

SEI는 화학 반응으로 만들어지며, 이 반응 속도는 버틀러-볼머 방정식으로 계산할 수 있다.

2. 단순화한 버틀러-볼머 식 (열화 반응)

j = j₀ × exp(η)

j : SEI를 만드는 반응 속도
j₀ : 기본 열화 성향
η : 과전압(무리한 사용 정도)

3. SEI 성장식 (두께 증가)

SEI 두께 L은 반응 속도에 비례하여 증가한다고 단순화한다.

dL/dt = k × j

L : SEI 두께
k : 비례 상수

4. 가정한 값

• j₀ = 0.001
• k = 10
• 정상 사용: η = 1
• 무리한 사용(급속충전, 고온): η = 2

5. 열화 반응 속도 계산

정상 사용

j = 0.001 × e¹ ≈ 0.0027

무리한 사용

j = 0.001 × e² ≈ 0.0074

무리하게 사용하면 SEI 생성 속도가 약 3배 빨라진다.

6. SEI 두께 증가 속도

정상 사용

dL/dt = 10 × 0.0027 ≈ 0.027 (하루당)

무리한 사용

dL/dt = 10 × 0.0074 ≈ 0.074 (하루당)

7. 수명으로 변환

SEI 두께가 1만큼 증가하면 배터리 용량이 1% 감소한다고 가정한다.

정상 사용

1% 감소 시간 = 1 ÷ 0.027 ≈ 37일

무리한 사용

1% 감소 시간 = 1 ÷ 0.074 ≈ 13.5일

8. 전체 수명 예측 (80% 기준)

배터리는 용량이 80%가 되면 수명이 끝난다고 본다. (20% 감소)

정상 사용

37일 × 20 ≈ 740일 ≈ 약 2년

무리한 사용

13.5일 × 20 ≈ 270일 ≈ 약 9개월

9. 의미

과전압(급속충전, 고온 운전)이 커질수록 버틀러-볼머 방정식에 의해 SEI 생성 속도가 급격히 증가한다.

SEI 성장식은 이 반응이 시간에 따라 누적되어 배터리 수명이 줄어드는 것을 수식으로 보여준다.

10. 한 줄 요약

버틀러-볼머 방정식으로 SEI 생성 속도를 계산하고, SEI 성장식을 통해 이를 누적하면 배터리 수명을 예측할 수 있다.