[강화학습] 마르코프 과정 (Markov Process)의 수학적 의미

마르코프 과정의 수학적 의미와 전문가적 입장

1. 마르코프 과정의 개념

마르코프 과정(Markov process)은 어떤 시스템의 상태가 시간에 따라 변화하는 과정에서, 현재 상태만이 미래 상태를 결정짓는다는 특성을 가진 확률적 모델입니다. 즉, 마르코프 과정의 중요한 속성은 기억 없음(Memoryless) 또는 마르코프 성질(Markov property)입니다. 이는 과거의 상태들이 현재 상태와 미래 상태에 영향을 미치지 않는다는 의미입니다.

수학적 정의

마르코프 과정은 시간에 따라 상태가 변하는 확률적 과정으로, 상태 집합 \(S = \{s_1, s_2, \dots, s_n\}\)과 상태 전이 확률이 주어집니다. 마르코프 과정에서 상태 \(s_i\)에서 상태 \(s_j\)로 전이될 확률을 상태 전이 확률로 표현합니다. 이 확률은 \(P(s_j | s_i)\)로 나타낼 수 있으며, 이는 주어진 현재 상태에서 다음 상태로의 전이 확률입니다.

2. 마르코프 성질 (Markov Property)

마르코프 과정의 핵심은 마르코프 성질에 있습니다. 즉, 주어진 현재 상태만 알면, 그 이후의 상태가 어떻게 될지 예측할 수 있습니다. 이를 수학적으로 표현하면:

\( P(s_{t+1} | s_t, s_{t-1}, \dots, s_1) = P(s_{t+1} | s_t) \)

이는 현재 상태 \(s_t\)만으로 다음 상태 \(s_{t+1}\)를 예측할 수 있다는 의미입니다. 과거 상태나 이전 행동들은 영향을 미치지 않습니다. 이 속성을 기억 없음(Memoryless)이라고도 부릅니다.

3. 수학적 모델링: 상태 전이 확률과 확률 행렬

마르코프 과정에서는 상태가 시간에 따라 변하며, 그 변화를 확률적으로 모델링합니다. 각 상태에서 다른 상태로 전이될 확률을 상태 전이 확률로 정의하며, 이를 전이 행렬(Transition Matrix)로 표현할 수 있습니다.

예시: 날씨 모델

하나의 간단한 예로 날씨 변화를 모델링해봅시다. 날씨는 "맑음", "비", "흐림"이라는 세 가지 상태로 정의되며, 다음과 같은 전이 확률이 주어진다고 가정합니다:

• "맑음" 상태에서 "맑음"으로 남을 확률은 0.7
• "맑음" 상태에서 "비"로 변할 확률은 0.2
• "맑음" 상태에서 "흐림"으로 변할 확률은 0.1

이런 전이 확률이 주어진 상태에서, 마르코프 과정을 사용하면 특정 날씨 상태에서의 변화 패턴을 예측할 수 있습니다.

상태 전이 행렬

상태 전이 확률을 행렬로 표현하면 다음과 같습니다:

\( P = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.3 & 0.4 & 0.3 \\ 0.4 & 0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \)

이 행렬에서, 첫 번째 행은 "맑음" 상태에서 다른 상태로 전이될 확률을 나타냅니다. 예를 들어, "맑음" 상태에서 "비" 상태로 변할 확률은 0.2입니다.

4. 마르코프 과정의 확장: 마르코프 결정 과정(Markov Decision Process, MDP)

마르코프 과정은 확률적 상태 변화를 설명하지만, 결정적인 요소를 포함하지 않습니다. 만약 시스템이 특정한 행동을 통해 상태를 변화시키는 경우, 이를 마르코프 결정 과정(Markov Decision Process, MDP)으로 확장할 수 있습니다. MDP는 강화 학습과 같은 분야에서 주로 사용됩니다.

MDP 구성 요소

• 상태 집합(S): 시스템의 가능한 상태들
• 행동 집합(A): 각 상태에서 에이전트가 선택할 수 있는 행동들
• 전이 확률(P): 상태에서 행동을 취했을 때, 다음 상태로 전이될 확률
• 보상 함수(R): 각 상태에서 특정 행동을 취했을 때 얻는 보상

MDP에서는 에이전트가 정책(Policy)을 학습하여 최적의 행동을 선택하고, 그 행동에 따른 보상을 최대화하려고 합니다.

5. 전문가적 관점: 마르코프 과정의 중요성

전문가적 관점에서 마르코프 과정은 여러 분야에서 널리 활용되고 있습니다. 그 이유는 예측 가능성과 확률적 모델링이 매우 유용하기 때문입니다. 특히, 마르코프 과정은 시스템이 시간에 따라 변하고, 그 변화가 확률적이라는 점에서 현실 세계의 다양한 문제들을 모델링할 수 있는 매우 강력한 도구입니다.

• 자연어 처리(NLP): 문장 생성 및 문맥 분석에서 마르코프 과정은 문법적 규칙을 모델링하는 데 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 단어들이 주어졌을 때, 그 다음에 나올 단어를 예측하는 데 마르코프 모델을 사용할 수 있습니다.
• 경로 계획: 로봇이나 자율 주행 차량이 환경을 탐색할 때, 마르코프 과정은 경로를 최적화하는 데 사용될 수 있습니다. 시스템은 주어진 상태에서 최적의 경로를 선택하는 확률적인 결정을 내립니다.
• 강화학습: 마르코프 결정 과정(MDP)은 강화학습의 기초입니다. 에이전트가 환경과 상호작용하면서 최적의 행동을 학습하는 데 사용됩니다. 이때 에이전트는 상태와 행동을 고려하여 보상을 최적화하려고 합니다.

6. 마르코프 과정의 제한 사항

마르코프 과정의 가장 큰 제한 사항은 기억 없음이라는 특성입니다. 즉, 마르코프 과정은 과거의 정보를 고려하지 않습니다. 이 때문에 장기적인 의사 결정을 위한 예측에서 제한적일 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 행동이 이전에 어떤 영향을 미쳤는지 고려하지 않기 때문에, 기억이 필요한 문제에서는 마르코프 과정만으로 충분히 설명하기 어려운 경우가 많습니다.

이러한 문제를 해결하기 위해 확장된 마르코프 모델 (예: 숨겨진 마르코프 모델, HMM)이나 강화학습과 같은 방법이 사용될 수 있습니다.

결론

마르코프 과정은 확률론적 모델링에서 중요한 역할을 하며, 상태와 그 상태들 간의 전이를 수학적으로 설명합니다. 기억 없음 성질을 가지고 있어 미래의 상태는 현재 상태만으로 결정된다는 특징을 갖고 있습니다. 이를 통해 강화학습, 자율주행 시스템, 경로 계획, 자연어 처리 등 다양한 분야에서 응용되고 있습니다. 마르코프 과정은 매우 강력한 도구이지만, 특정 문제에서는 추가적인 확장이나 고려가 필요할 수 있습니다.