배터리 물리 모델: 뉴먼 방정식(Newman Model)
배터리 내부의 이온 거동과 수명 예측의 수학적 토대
1. 뉴먼 모델(P2D) 개요
뉴먼 모델은 배터리의 전극을 수많은 작은 알갱이(구형 입자)로 가정하고, 리튬 이온이 전해질을 이동하는 현상과 전극 알갱이 내부로 확산되는 현상을 2차원적으로 연결하여 계산합니다.
2. 핵심 지배 방정식 (Governing Equations)
배터리 내부의 물리적 상태를 정의하는 4가지 주요 방정식입니다.
① 고체 전극 내 전하 보존 (Ohm's Law in Solid Phase)
전극(고체) 내에서 전자가 흐르는 원리입니다.
$$\nabla \cdot (\sigma_{eff} \nabla \phi_s) - j_{Li} = 0$$
* $\sigma_{eff}$: 유효 전기전도도, $\phi_s$: 고체 전위, $j_{Li}$: 부피당 반응 전류
② 전해질 내 전하 보존 (Conservation of Charge in Electrolyte)
전해질 속에서 리튬 이온이 전하를 옮기는 원리입니다.
$$\nabla \cdot (\kappa_{eff} \nabla \phi_e + \kappa_D^{eff} \nabla \ln c_e) + j_{Li} = 0$$
* $\kappa_{eff}$: 유효 이온전도도, $\phi_e$: 전해질 전위, $c_e$: 전해질 농도
③ 전해질 내 질량 보존 (Conservation of Species in Electrolyte)
전해질 내 리튬 이온의 농도 변화를 나타냅니다.
$$\frac{\partial (\epsilon_e c_e)}{\partial t} = \nabla \cdot (D_e^{eff} \nabla c_e) + \frac{1-t_+^0}{F} j_{Li}$$
* $\epsilon_e$: 공극률, $D_e^{eff}$: 유효 확산 계수, $t_+^0$: 리튬 이온 수송 계수
④ 활물질(알갱이) 내 리튬 확산 (Diffusion in Solid Particles)
전극 알갱이 내부로 리튬이 파고드는 현상(Fick's 2nd Law)입니다.
$$\frac{\partial c_s}{\primary t} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( D_s r^2 \frac{\partial c_s}{\partial r} \right)$$
* $c_s$: 고체 농도, $D_s$: 고체 내 확산 계수, $r$: 입자 반경 방향 좌표
3. 배터리 수명 예측 모델 (Degradation Model)
위의 뉴먼 방정식에 시간에 따른 변수 변화(노화)를 추가하면 수명 예측 모델이 됩니다.
- SEI 층 성장: 전해질과 전극이 반응하여 찌꺼기(SEI)가 쌓여 이온 이동을 방해함.
- 리튬 도금(Plating): 충전 시 리튬 이온이 전극 속으로 못 들어가고 표면에 금속으로 굳어버림.
- 입자 균열: 수천 번의 팽창과 수축으로 전극 알갱이가 깨짐.
| 구분 | 설명 | 비유 |
|---|---|---|
| 물리 기반 모델 | 뉴먼 방정식을 사용하여 SEI 두께 증가 등을 직접 계산 | 정밀 혈액 검사 및 내시경 |
| 데이터 기반 모델 | 과거 충방전 데이터를 AI(ML/DL)가 학습하여 패턴 예측 | 과거 진료 기록 바탕의 통계적 예측 |
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