뉴먼 방정식(Newman Equation)
배터리 전기화학 기반 수명 예측 모델
1. 뉴먼 방정식이란?
뉴먼 방정식은 리튬이온 배터리 안에서 전자와 리튬 이온이 어떻게 이동하고, 전극 표면에서 어떤 화학 반응이 일어나는지를 동시에 계산하는 수식 모델이다.
즉, 배터리 내부를 수학적으로 표현한 지도라고 볼 수 있다.
2. 전극 안 전자 이동 (옴의 법칙)
σ · dφs/dx = - is
σ : 전극 전도도
φs : 고체 전극 전위
is : 전류 밀도
전압 기울기가 생기면 전자가 흐른다는 의미이다.
계산 예제
전도도 σ = 10
전압 차이 = 0.1 V
전극 두께 = 0.01 m
전압 기울기 = 0.1 / 0.01 = 10 V/m
전류 밀도 i = 10 × 10 = 100 A/m²
전도도 σ = 10
전압 차이 = 0.1 V
전극 두께 = 0.01 m
전압 기울기 = 0.1 / 0.01 = 10 V/m
전류 밀도 i = 10 × 10 = 100 A/m²
3. 전해질 안 리튬 이온 이동 (확산 방정식)
∂ce/∂t = De · ∂²ce/∂x²
ce : 리튬 이온 농도
De : 확산계수
농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 퍼지는 현상을 의미한다.
계산 예제
왼쪽 농도 = 100
오른쪽 농도 = 80
거리 = 1 cm
확산계수 D = 1
농도 기울기 = (100 - 80) / 1 = 20
확산량 ≈ 1 × 20 = 20
왼쪽 농도 = 100
오른쪽 농도 = 80
거리 = 1 cm
확산계수 D = 1
농도 기울기 = (100 - 80) / 1 = 20
확산량 ≈ 1 × 20 = 20
4. 전극 표면 반응 (버틀러-볼머 식)
j = j₀ [ exp(αFη/RT) - exp(-αFη/RT) ]
j : 반응 전류
j₀ : 교환 전류 밀도
η : 과전압
계산 예제
j₀ = 1
η = 0.1 V
αF/RT ≈ 1
j = 1 × (e⁰·¹ − e⁻⁰·¹)
e⁰·¹ ≈ 1.105
e⁻⁰·¹ ≈ 0.905
j = 1 × (1.105 − 0.905) = 0.20
j₀ = 1
η = 0.1 V
αF/RT ≈ 1
j = 1 × (e⁰·¹ − e⁻⁰·¹)
e⁰·¹ ≈ 1.105
e⁻⁰·¹ ≈ 0.905
j = 1 × (1.105 − 0.905) = 0.20
5. 수명 예측에 어떻게 쓰이나?
배터리가 늙으면 다음 값들이 줄어든다.
- 확산계수 D 감소
- 교환전류 j₀ 감소
- 내부 저항 증가
열화 예제
초기: j₀ = 1 → j = 0.20
노화 후: j₀ = 0.5 → j = 0.10
출력이 절반으로 감소 → 수명 감소
초기: j₀ = 1 → j = 0.20
노화 후: j₀ = 0.5 → j = 0.10
출력이 절반으로 감소 → 수명 감소
6. 한 줄 요약
뉴먼 방정식은 배터리 안에서 전자 이동, 이온 이동, 화학 반응을 동시에 계산하여 현재 상태와 앞으로의 수명을 예측하는 전기화학 모델이다.
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