정보량의 과학적 개념

1. 정보의 정량화 필요성

정보량(information quantity)은 우리가 어떤 사건을 관찰했을 때, 그 사건이 우리에게 얼마만큼의 새로운 정보를 제공하는지를 수학적으로 측정한 값입니다. 이 개념은 클로드 섀넌(Claude Shannon)이 제안한 정보이론(Information Theory)의 핵심 개념 중 하나입니다.

2. 정보량의 정의

어떤 사건 x가 발생할 확률이 P(x)일 때, 그 사건이 제공하는 정보량 I(x)는 다음과 같이 정의됩니다:

I(x) = -logb(P(x))

• P(x): 사건 x의 발생 확률
• log_b: 로그의 밑 b (보통 2를 사용하며 단위는 비트)

예를 들어, 어떤 사건이 매우 드물게 발생한다면 그 사건은 우리에게 더 많은 정보를 제공합니다. 반대로 확실한 사건(예: P=1)은 새로운 정보가 없으므로 정보량이 0입니다.

3. 엔트로피(Entropy)와의 관계

여러 사건들이 존재할 때, 이들의 평균적인 정보량은 엔트로피라고 부르며, 다음과 같이 정의됩니다:

H(X) = -∑ P(xi) logb P(xi)

엔트로피는 시스템의 불확실성의 평균적인 정도를 나타내며, 통신 효율, 데이터 압축, 모델 예측력 평가 등 다양한 분야에 활용됩니다.

4. 정보량의 수학적 특성

• 비음성성: 정보량은 항상 0 이상이다. (I(x) ≥ 0)
• 희귀성 정보 증가: 확률이 낮을수록 정보량은 높다.
• 독립 사건 합산: 두 사건이 독립이면, 전체 정보량은 개별 정보량의 합이다.

5. 활용 분야

• 통신이론: 채널 용량, 인코딩 최적화
• 데이터 압축: 빈도 기반 압축 알고리즘 설계 (예: Huffman coding)
• 머신러닝: 정보이득 기반 의사결정트리, 피처 선택
• 암호학: 비밀키의 정보량 측정 → 보안성 평가
• 물리학: 열역학 엔트로피와 정보 엔트로피의 수학적 유사성

6. 결론

정보량은 사건의 발생 확률에 기반하여, 우리가 새롭게 얻는 정보의 양을 수학적으로 정량화한 개념입니다. 이 개념은 단순한 통신을 넘어, 데이터 과학, 인공지능, 물리학 등 다양한 분야의 기반이 되는 원리로 작동하며, 불확실성의 수학적 이해를 가능하게 하는 핵심 개념입니다.

"정보량을 이해한다는 것은, 세상을 얼마나 예측할 수 있는지를 수치로 파악하는 것이다."