고유값, 고유벡터의 의미

 

벡터란?

벡터란 단어는 많이 들어보았을 것이다. 벡터는 방향(direction), 크기(magnitude)로 구성된 것을 말한다.

 

고유벡터란?

어떤 벡터에 선형변환을 취했을 때, 방향은 변하지 않고 크기만 변환되는 벡터를 의미한다.

 

고유값이란?

고유벡터가 변환되는 “크기”를 의미한다.

예를 들어 고유벡터의 크기가 변한다고 가정하자. 얼마만큼 변화하는지 알 수 있을까?
고유벡터의 크기가 변화한다고 할 때, 해당 벡터의 변화하는 크기를 고유값이라고 한다. 만약 고유값이 2라면, 기존벡터 크기의 2배만큼 길어진 것이고, 고유값이 1/3이라면 기존 벡터 크기의 1/3만큼 줄어든다는 것을 의미한다.

 

Ax의 의미

Ax는 x라는 벡터에 선형변환( A )을 취한 것을 의미한다.
벡터x를 늘리거나 줄이거나 회전시키거나 하는 등 어떠한 “변환( A )”을 취하는 것을 의미한다. 예를 들어 아래 그림에서와 같이 벡터 v는 다양한 변환을 통하여 v1, v2, v3로 변환될 수 있음을 의미한다.

 

선형변환( A ) 의 의미

선형변환은 쉽게 말해서 좌표공간 내에서 일어날 수 있는 모든 변환이라고 생각하면 좋다. 예를 들어, 좌표평면에 벡터 하나가 있다고 가정하자. 해당 벡터를 확대하거나, 축소하거나, 회전시키거나, 반사시키는 것은 모두 변환이라고 생각할 수 있다.