[강화학습] 벨만 방정식 쉽게 이해하기

벨만 방정식(Bellman Equation) 쉽게 이해하기

1. 벨만 방정식이란?

벨만 방정식은 "현재 상태에서 내리는 최적의 결정이 결국 전체적으로도 최적의 결과를 만든다"는 개념을 수학적으로 표현한 것입니다.

📌 예제: 미로 게임

미로에서 출구까지 가는 길을 찾는 문제를 생각해 봅시다.

• 각 칸에서 이동할 수 있는 방향이 있습니다.
• 이동할 때마다 보상을 받을 수도 있고, 벌점을 받을 수도 있습니다.
• 목표는 출구까지 가는 최적의 경로(최대 보상)를 찾는 것입니다.

2. 벨만 방정식의 원리

벨만 방정식은 현재 상태의 가치는 현재 받을 보상과 미래의 가치의 합으로 계산할 수 있다는 원리를 따릅니다.

현재 상태의 가치 V(s) = 현재 선택으로 받는 보상 R(s, a) + 다음 상태에서의 최적 가치 V(s')

V(s) = maxa [ R(s, a) + γ V(s') ]

📌 각 항목의 의미

• V(s): 현재 상태 s에서의 기대 가치
• a: 현재 상태에서 선택할 수 있는 행동
• R(s, a): 상태 s에서 행동 a를 했을 때 얻는 보상
• γ: 할인율 (0~1 사이의 값, 미래 보상의 중요도 결정)
• V(s'): 다음 상태 s'에서의 최적 가치

3. 벨만 방정식 쉽게 이해하기

📌 예제 1: 계단 오르기

당신이 계단을 올라가려고 합니다.

• 1칸을 올라가면 1점을 받습니다.
• 2칸을 올라가면 2점을 받습니다.
• 목표는 최대한 많은 점수를 받으면서 올라가는 것입니다.

📌 예제 2: 미로 찾기

아래와 같은 미로에서 출구(오른쪽 아래)로 가는 최적의 경로를 찾는 문제를 생각해 보겠습니다.

S → □ → □
↓    ↓    ↓
□ → □ → G

• S: 시작점
• G: 목표(출구)
• □: 이동 가능한 칸
• 각 칸에서 한 칸 이동할 때마다 -1점을 받습니다.
• 출구(G)에 도달하면 보상 +10점을 받습니다.

벨만 방정식을 사용하면, 각 칸에서 이동할 수 있는 방향 중 최대 점수를 얻을 수 있는 방향을 선택하는 방식으로 문제를 해결할 수 있습니다.

4. 벨만 방정식이 사용되는 곳

• 강화학습 (Reinforcement Learning): AI 학습, 자율주행, 로봇
• 동적 계획법 (Dynamic Programming): 최적 경로 찾기, 재고 관리
• 경제학 및 금융: 주식 투자 최적 전략, 옵션 가격 결정

5. 정리

✅ 벨만 방정식은 현재 상태의 최적 가치를 구하는 방법을 제공하는 방정식입니다.

✅ 핵심 원리는 현재 보상 + 미래 보상의 최적 선택입니다.

✅ 강화학습, 최적화 문제, 경로 탐색 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

벨만 방정식이 처음에는 어려워 보일 수 있지만, 본질적으로는 "현재 선택을 최적으로 하면 전체적으로도 최적이 된다"는 단순한 개념입니다.

혹시 추가로 더 궁금한 점이 있나요?